Κυριακή 15 Φεβρουαρίου 2015

Άσκηση του μήνα για τη Γ΄ Γυμνασίου (Φεβρουάριος 2015)


3 σχόλια:

  1. Α) χ2+αχ+α-1=0
    Δ >= 0
    Α=1
    Β=α
    Γ=α-1
    Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2 αυτό είναι πάντα για οποιαδήποτε τιμη του α μεγαλύτερο ή =0 οπότε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση
    Β) αν η εξίσωση έχει μια διπλή λύση πρέπει Δ=0
    Άρα (α-2)2=0 με α=2
    Χ2+2χ+2-1=0
    Χ2+2χ+1=0
    α=1
    β=2 Δ=4-4=0
    γ=1 χ=-2/2=-1
    Γ) χ2+αχ+α-1=0
    Δ = α2- 4*(α-1)=α2-4α+4=(α-2)2
    Α=1
    Β=α
    Γ=α-1
    Χ1=-β+ριζα Δ/2α
    Χ2=-β-ριζα Δ/2α
    Χ1=-α+α+2/2= -1
    Χ2=-α-α+2/2=-2α+2/2=-2(α-1)/2=-(α-1)=1-α
    Δ) έστω χ1 η μια ρίζα η άλλη θα είναι 4χ1
    Ισχύει ότι 4χ1+χ1 = -β+ριζα δ –β –ριζα δ/2α= -Β/Α
    Αντικαθιστούμε
    5χ1= -α
    Χ1 =-α/5
    χ2+αχ+α-1=0 οπου χ=χ1=-α/5
    α2/25-α2/5+α-1=0
    πολλαπλασιάζουμε όλους τους αριθμούς με το 25
    α2-5α2+25α-25=0
    -4α2+25α-25=0
    Α=-4
    Β=25
    Γ=-25
    Δ= Β2 - 4αγ =625 -400 = 225 οπου η ριζα του είναι 15
    α1=-25+15/-8=5/4
    α2=-25-15/-8= 5

    αν αντικαταστήσω τις τιμές του α βγαίνει και για τις δυο τιμές ότι η μια λύση είναι τετραπλάσια της άλλης
    ΒΑΙΟΣ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. α) Για να αποδείξω ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση, θα πρέπει να αποδείξω ότι η Δ≥0.

    Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
    Α=1, Β=α, Γ=α-1
    Δ= Β^2 - 4ΑΓ = α^2 - 4*1*(α-1) = α^2 - 4(α-1) = α^2 -4α + 4 = (α-2)^2
    Το (α-2)^2 ≥ 0 για κάθε τιμή του α [γιατί αν α≠2 το (α-2)^2 > 0 και αν α=2 το (α-2)^2 = 0].

    β) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή λύση η Δ=0.
    Δ=0
    (α-2)^2 = 0
    α-2 = 0
    α=2

    x^2 + αx + α - 1 = 0
    x^2 + 2x + 2 - 1 = 0
    x^2 + 2x + 1 = 0
    Στην εξ. x^2 + 2x + 1 = 0 :
    Α=1, Β=2, Γ=1
    Δ=0
    Μία διπλή λύση:
    x= - Β/2Α = - 2/2*1 = -1

    γ) Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
    Α=1, Β=α, Γ=α-1
    Δ= (α-2)^2 ≥ 0
    Μία τουλάχιστον λύση:
    x= (-Β ± √Δ) / 2Α = [-α ± √(α-2)^2] / 2*1 = (-α ± |α-2|) / 2 (Επειδή δε γνωρίζουμε αν το α-2 είναι θετικός ή αρνητικός, γράφουμε τη ρίζα του (α-2)^2 ως την απόλυτη τιμή του α-2.)

    Αν α=2, |α-2|=0.
    Αν α>2, |α-2|= α-2.
    Αν α<2, |α-2|= -(α-2) = -α+2.

    Για α=2:
    (-α ± |α-2|) / 2 = (-2 ± 0) / 2 = -2/2 = -1

    Για α>2:
    (-α ± |α-2|) / 2 = (-α ± α-2) / 2 =
    ρ1= (-α + α - 2) / 2 = -2/2 = -1
    ρ2= [-α - (α - 2)] / 2 = (-α - α +2) / 2 = (-2α + 2) / 2 = 2(1-α) / 2 = 1-α

    Για α<2:
    (-α ± |α-2|) / 2 = [-α ± (-α+2)] / 2 =
    ρ1= (-α - α + 2) / 2 = (-2α + 2) / 2 = 2(1-α) / 2 = 1-α
    ρ2= [-α -(-α+2)] / 2 = (-α + α - 2) / 2 = -2/2 = -1

    Άρα για κάθε τιμή του α υπάρχει ένας σταθερός αριθμός (το -1) που είναι λύση της εξίσωσης.

    δ) Αν η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες η Δ>0.

    Στην εξ. x^2 + αx + α - 1 = 0 :
    Α=1, Β=α, Γ=α-1
    Δ= (α-2)^2 > 0 Άρα θα πρέπει α≠2.

    Για α>2:
    ρ1= -1
    ρ2= 1-α (από υποερώτημα γ)

    Αν
    ρ1=4*ρ2
    -1 = 4(1-α)
    -1 = 4 - 4α
    -1 - 4 = -4α
    -5 = -4α
    -5/4 = -4α/4
    α=5/4
    α=1,25 Απορρίπτεται γιατί πρέπει α>2.

    Αν
    ρ2=4*ρ1
    1-α = 4*(-1)
    1-α = -4
    -α = -4 -1
    α=5

    Άρα για α>2 το α=5.


    Για α<2:
    ρ1= 1-α
    ρ2= -1 (από υποερώτημα γ)

    Αν
    ρ1=4*ρ2
    1-α = 4*(-1)
    α=5 Απορρίπτεται γιατί πρέπει α<2.

    Αν
    ρ2=4*ρ1
    -1 = 4(1-α)
    α=1,25

    Άρα για α<2 το α=1,25.

    ΜΕΛΙΝΑ Λ.







    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Εκπληκτικές λύσεις από το Βάιο και τη Μελίνα!
    Πολλά μπράβο και στους δύο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή